EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCIÓN POISSON USANDO TABLAS Y EXCEL

DISTRIBUCIÓN POISSON

Esta distribución es una de las importantes de distribuciones de variables discretas. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelizacion de situaciones en la que nos interesa determinar el numero de hechos de cierto tipo que se producen en intervalo de cierto tiempo,espacio y área, bajo su puesto de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas otro de sus usos frecuentes es la consideración limite del proceso dicotomaticos reiterados un gran numero de beses sin la probabilidad de obtener un éxito muy pequeño.
Esta distribución se puede hacer deribable en un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características:
1.- En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, espacio, pieza etcétera.
2.-Si N≥20 Y P=0.5; si N≥100, la aproximación a poisson es generalmente excelente a condición de que NP≤10.3.-Numero de defectos de una tela por metro cuadrado 

P(X; λ)=  λ,  e^{^x} ÷ x!

para X= 0,1,2,3,4...Donde:p(x; λ ) es igual probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el numero promedio de ocurrencia de ellos es  λ.

 λ=medio o promedio de éxitos por unidad de tiempo área o producto( λ=NP ) e=2.718

X=variable que nos denoto el numero de éxitos que se de a que ocurra.

la función de distribución vendrá dada por 

P(X; λ)=  λ,  e^{^x} ÷ x!

las tablas de poisson tienes una estructura de la forma siguiente  

X	Λ=5.5	Λ=6.0	Λ=6.5	Λ=7.0
0	0.0041	0.0025	0.0015	0.0009
1	0.0225	0.0149	0.0098	0.0064
2	0.0618	0.0446	0.0318	0.0233
3	0.1133	0.0892	0.0688	0.0521
4	0.1558	0.1339	0.1118	0.0912
5	0.1771	0.1606	0.1454	0.1277
6	0.1571	0.1606	0.1575	0.1490
7	0.1234	0.1377	0.1462	0.1490
8	0.0849	0.1033	0.1188	0.1304

Usando excel la función Poisson se debe ubicar en una celda vacia y escribir =Poisson.DIST

El software demostrará las distribuciones existentes mientras está escribiendo. Puede observar que entre paréntesis aparecen 3 parámetros.
EJEMPLO

Una empresa eléctrica observa el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el promedio de estos fallos es 8;

1. ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?

2.¿De qué fallen no más de 2 componentes en 50 horas?

3.¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos 10 en 125 horas?

SOLUCIÓN

Usando las tablas estadísticas de Poisson sea la variable aleatoria "x", con una distribución de Poisson con parámetro LAMDA=[x=8, que determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.

1.Considerando que se cumplen ciertas condiciones de irregularidad podemos asumir que una variable "z" que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribución de Poisson con parámetro LAMDAz=2 por lo tanto la probabilidad deseada es p(z)=1 LAMDA=2)=

2.Análogamente definimos una variable aleatoria U con distribución Poisson de parámetro =4 que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento:

P(Us2) LAMDA=4)= 0.0183+0.07334+0.7465=0.2384

3. De la misma forma definiendo una variable aleatoria Uv con una distribución Poisson de parámetro LAMDA v= 10 Se obtiene:

P(v=10; LAMDA)= 1-P (V<10), LAMDA=10) 1- (0.0000+0.0076+0.0189+0.0378+0.0631+0.0901+0.1126+0.1251)= 0.5420

SOLUCIÓN USANDO EXCEL:

1. (z=1;  LAMDA=2)=POISSON.OIST(1,2,FALSO)= 0.2707

2. P(Us2; LAMDA=4);POISSON.OIST(2,4VERDADERO)=0.2381

3. P(V>_10; LAMDA=10) 1-P(V<10)=1-POISSON.OIST(9,10,VERDADERO)=0.54207

Un ingeniero elabora en un departamento de Control de Calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. El 20% de los alternadores del lote están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra:

a) Ninguno esté defectuoso

b) Uno salga defectuoso

c) Al menos 2 salgan defectuosos

d) Más de 3 salgan defectuosos

e) No más de 3 estén defectuosos

SOLUCIÓN USANDO TABLAS BINOMIALES

a) p(x=0) b=(x=0; n=10, p=0.2)=0.1074

b) p(x=1) b=(x=1 n=10, p=0.2)=0.2684

c) p(x>_2)1-p(x<_1)=1-B(x<_1;n=10,p=0.2)=1-(0.1074+0.2684)=0.6242

d) p(x>_3)=1-P(x<_2)=1-B(x<_2;n=10,p=0.2)=1- (0.1074+0.2684+0.8020)=0.32222

e) p(xz_3)=B(x<_3);n=10, p=0.2)= 0.1074 +0.2684+0.3020+0.2013=0.8791

SOLUCIÓN CON EXCEL:

a) DISTR.BINOM.N(0,10,0.20,FALSO)=0.1734

b) DISTR.BINOM.N(1,10,0.20,FALSO)=0.2684

c) 1-DISTR.BINOM.N(1,10,0.20,VERDADERO)=0.6242

d) 1-DISTR.BINOM.N(2,10,0.20,VERDADERO)=0.3222

e) DISTR.BINOM.N(3,10,0.20,VERDADERO)=0.8791

Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.4 imperfecciones por milímetro.

a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en 1 milímetro de alambre.

b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 mm de alambre.

c) Determine la probabilidad de al menos 1 imperfección en mm de alambre.

SOLUCIÓN USANDO LAS TABLAS ESTADÍSTICAS DE POISSON:

a) P(x=2; LAMDA =2.4)=0.2673
b) sea x el número de imperfecciones en 5 mm de alambre entonces x tiene una distribución Poisson con LAMDA =5 mm por 2.4 imperfecciones.
c) Sea x el número de imperfecciones en 2 mm de alambre  entonces x tiene una distribución Poisson con LAMDA= 2 (2.4) imperfecciones = 4.8
Entonces p(x>_1;LAMDA=4.8)=1-p(x<1) Lamda=4.8=0.4458

SOLUCIÓN USANDO EXCEL:

a) p(x=2) LAMDA=2.4)POISSON.DIST(2,2.4,FALSO)=0.2673
b) p(x=10; LAMDA=120)=POISSON.DITR(10,12,FALSO)=0.1048
c) p(x>_1; LAMDA=4.8)=1-POISSON.DISTR(0,4,8,VERDADERO)=0.9918

CONTAMINACIÓN

La contaminación constituye un problema en fabricación de discos  de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurren en un disco optico tienen una distribución Poisson y el número promedio de partículas por cm2 de superficie del disco es 0.1. El área de un disco es de 100 cm2.
a) Encuentren la probabilidad de que ocurra 12 partículas en el área del disco bajo estudio.
b) La probabilidad de que ocurra 0 partículas en el área del disco en estudio.
c) Determinen la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco de estudio.

SOLUCIÓN:
LAMDA= 100 cm2 (0.7) partículas (cm2=10 partículas)
Usando las tablas estadísticas de Poisson:
a) P(x=12, =10)=0.948
b) P(x=0, 10)=0.0
c) P(x<_12; 10)=0.0+0.0005+.....0.948= 0.7946

SOLUCIÓN USANDO EXCEL:

a) P(X=12;  10)=POISSON.DISTR(12,10,FALSO)=0.0948
b) P(x=0;  10)=POISSON.DISTR(0,10,FALSO)=0.000045
c) P(x>_12;  10)=POISSON.DISTR(12,10,VERDADERO)= 0.7916