EJERCICIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCIÓN POISSON USANDO TABLAS Y EXCEL

DISTRIBUCIÓN POISSON

Esta distribución es una de las importantes de distribuciones de variables discretas. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelizacion de situaciones en la que nos interesa determinar el numero de hechos de cierto tipo que se producen en intervalo de cierto tiempo,espacio y área, bajo su puesto de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas otro de sus usos frecuentes es la consideración limite del proceso dicotomaticos reiterados un gran numero de beses sin la probabilidad de obtener un éxito muy pequeño.
Esta distribución se puede hacer deribable en un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características:
1.- En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, espacio, pieza etcétera.
2.-Si N≥20 Y P=0.5; si N≥100, la aproximación a poisson es generalmente excelente a condición de que NP≤10.3.-Numero de defectos de una tela por metro cuadrado 

P(X; λ)=  λ,  e^{^x} ÷ x!

para X= 0,1,2,3,4...Donde:p(x; λ ) es igual probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el numero promedio de ocurrencia de ellos es  λ.

 λ=medio o promedio de éxitos por unidad de tiempo área o producto( λ=NP ) e=2.718

X=variable que nos denoto el numero de éxitos que se de a que ocurra.

la función de distribución vendrá dada por 

P(X; λ)=  λ,  e^{^x} ÷ x!

las tablas de poisson tienes una estructura de la forma siguiente  

X	Λ=5.5	Λ=6.0	Λ=6.5	Λ=7.0
0	0.0041	0.0025	0.0015	0.0009
1	0.0225	0.0149	0.0098	0.0064
2	0.0618	0.0446	0.0318	0.0233
3	0.1133	0.0892	0.0688	0.0521
4	0.1558	0.1339	0.1118	0.0912
5	0.1771	0.1606	0.1454	0.1277
6	0.1571	0.1606	0.1575	0.1490
7	0.1234	0.1377	0.1462	0.1490
8	0.0849	0.1033	0.1188	0.1304

Usando excel la función Poisson se debe ubicar en una celda vacia y escribir =Poisson.DIST

El software demostrará las distribuciones existentes mientras está escribiendo. Puede observar que entre paréntesis aparecen 3 parámetros.
EJEMPLO

Una empresa eléctrica observa el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el promedio de estos fallos es 8;

1. ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?

2.¿De qué fallen no más de 2 componentes en 50 horas?

3.¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos 10 en 125 horas?

SOLUCIÓN

Usando las tablas estadísticas de Poisson sea la variable aleatoria "x", con una distribución de Poisson con parámetro LAMDA=[x=8, que determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.

1.Considerando que se cumplen ciertas condiciones de irregularidad podemos asumir que una variable "z" que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribución de Poisson con parámetro LAMDAz=2 por lo tanto la probabilidad deseada es p(z)=1 LAMDA=2)=

2.Análogamente definimos una variable aleatoria U con distribución Poisson de parámetro =4 que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento:

P(Us2) LAMDA=4)= 0.0183+0.07334+0.7465=0.2384

3. De la misma forma definiendo una variable aleatoria Uv con una distribución Poisson de parámetro LAMDA v= 10 Se obtiene:

P(v=10; LAMDA)= 1-P (V<10), LAMDA=10) 1- (0.0000+0.0076+0.0189+0.0378+0.0631+0.0901+0.1126+0.1251)= 0.5420

SOLUCIÓN USANDO EXCEL:

1. (z=1;  LAMDA=2)=POISSON.OIST(1,2,FALSO)= 0.2707

2. P(Us2; LAMDA=4);POISSON.OIST(2,4VERDADERO)=0.2381

3. P(V>_10; LAMDA=10) 1-P(V<10)=1-POISSON.OIST(9,10,VERDADERO)=0.54207

Un ingeniero elabora en un departamento de Control de Calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. El 20% de los alternadores del lote están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra:

a) Ninguno esté defectuoso

b) Uno salga defectuoso

c) Al menos 2 salgan defectuosos

d) Más de 3 salgan defectuosos

e) No más de 3 estén defectuosos

SOLUCIÓN USANDO TABLAS BINOMIALES

a) p(x=0) b=(x=0; n=10, p=0.2)=0.1074

b) p(x=1) b=(x=1 n=10, p=0.2)=0.2684

c) p(x>_2)1-p(x<_1)=1-B(x<_1;n=10,p=0.2)=1-(0.1074+0.2684)=0.6242

d) p(x>_3)=1-P(x<_2)=1-B(x<_2;n=10,p=0.2)=1- (0.1074+0.2684+0.8020)=0.32222

e) p(xz_3)=B(x<_3);n=10, p=0.2)= 0.1074 +0.2684+0.3020+0.2013=0.8791

SOLUCIÓN CON EXCEL:

a) DISTR.BINOM.N(0,10,0.20,FALSO)=0.1734

b) DISTR.BINOM.N(1,10,0.20,FALSO)=0.2684

c) 1-DISTR.BINOM.N(1,10,0.20,VERDADERO)=0.6242

d) 1-DISTR.BINOM.N(2,10,0.20,VERDADERO)=0.3222

e) DISTR.BINOM.N(3,10,0.20,VERDADERO)=0.8791

Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.4 imperfecciones por milímetro.

a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en 1 milímetro de alambre.

b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 mm de alambre.

c) Determine la probabilidad de al menos 1 imperfección en mm de alambre.

SOLUCIÓN USANDO LAS TABLAS ESTADÍSTICAS DE POISSON:

a) P(x=2; LAMDA =2.4)=0.2673
b) sea x el número de imperfecciones en 5 mm de alambre entonces x tiene una distribución Poisson con LAMDA =5 mm por 2.4 imperfecciones.
c) Sea x el número de imperfecciones en 2 mm de alambre  entonces x tiene una distribución Poisson con LAMDA= 2 (2.4) imperfecciones = 4.8
Entonces p(x>_1;LAMDA=4.8)=1-p(x<1) Lamda=4.8=0.4458

SOLUCIÓN USANDO EXCEL:

a) p(x=2) LAMDA=2.4)POISSON.DIST(2,2.4,FALSO)=0.2673
b) p(x=10; LAMDA=120)=POISSON.DITR(10,12,FALSO)=0.1048
c) p(x>_1; LAMDA=4.8)=1-POISSON.DISTR(0,4,8,VERDADERO)=0.9918

CONTAMINACIÓN

La contaminación constituye un problema en fabricación de discos  de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurren en un disco optico tienen una distribución Poisson y el número promedio de partículas por cm2 de superficie del disco es 0.1. El área de un disco es de 100 cm2.
a) Encuentren la probabilidad de que ocurra 12 partículas en el área del disco bajo estudio.
b) La probabilidad de que ocurra 0 partículas en el área del disco en estudio.
c) Determinen la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco de estudio.

SOLUCIÓN:
LAMDA= 100 cm2 (0.7) partículas (cm2=10 partículas)
Usando las tablas estadísticas de Poisson:
a) P(x=12, =10)=0.948
b) P(x=0, 10)=0.0
c) P(x<_12; 10)=0.0+0.0005+.....0.948= 0.7946

SOLUCIÓN USANDO EXCEL:

a) P(X=12;  10)=POISSON.DISTR(12,10,FALSO)=0.0948
b) P(x=0;  10)=POISSON.DISTR(0,10,FALSO)=0.000045
c) P(x>_12;  10)=POISSON.DISTR(12,10,VERDADERO)= 0.7916

TENDENCIA LINEAL KARDEX

FUNCION DE ECUACION CUBICA

FUNCION DE ECUACION CUADRATICA

FUNCION DE ECUACION DE PRIMER GRADO

FUNCION DE PROBABILIDAD DISCRETA

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Se caracteriza por su función de probabilidad viene dada por la expresión siguiente:

b(x;n,p)=(n/x) p^x (1-p) n^x

Donde:

x: numero de éxitos (x=0,1,2,3,4......... n).

p: probabilidad de éxito.

1-p: probabilidad de fracaso.

n: tamaño de la muestra de ensayos.

Condiciones para una distribución binomial.

Una distribución se denomina binomial cuando se cumple las condiciones siguientes:

1.- El experimento aleatorio de base se repite n beses, todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.

2.- En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito, expresado por (P) así mismo existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso que es igual Al-P.

3.- El objetivo de la distribución binomial es conocer probabilidad de que se produzca un cierto numero de éxitos.

La variable aleatoria X, que indica el numero de bases que aparece un suceso denominado A(éxito), es discreta, y su recorrido es el conjunto{1,2,3,4...n}.

Los ejercicios los resultados con tablas de estadística y posteriormente con la hoja de calculo excel de microsoft  office,

Tabla 1. probabilidades de distribución binomial.

n	x	P:0.1	P:0.2	P:0.3	P:0.4	0.5
1	0 1 2	0.8100 0.1800 0.0100	0.6400 0.3200 0.0400	0.4900 0.4200 0.0900	0.3600 0.4800 0.1600	0.2500 0.5000 0.2500
2	0 1 2 3	0.7290 0.2430 0.0270 0.0010	0.5120 0.3840 0.0960 0.0080	0.3430 0.4410 0.1890 0.0270	0.2160 0.4320 0.2880 0.0640	0.1250 0.3750 0.3750 0.1250

Puede apreciarse en la primera columna aparece N en la 2da columna los valores de X por cada N y luego las columnas correspondientes alas probabilidades de P.

Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de N igual a 3 ensayos de los cuales X es igual a 2 son éxitos con una probabilidad de acierto de P=0.40.

=DISTRI.BINOM.N(num,exito,ensayos,prob.exito,acomulado).

Se ubica en una celda bacía y se escribe  

=DISTR.BINOM.N el software le mostrara las distribuciones existentes mientras usted esta escribiendo puede ver que entre ( ) aparecen 4 parámetros:

- Numero de éxitos: aquí puede escribir el numero de éxitos que desea obtener.

-Ensayos: es el tamaño de la muestra N.

-Prob.exito: probabilidad de éxito.

-Acumulado: VERDADERO O FALSO.   ( Si escribe VERDADERO:la distribución calcula la distribución binomial acumulado desde X hasta 0; si escribe FALSO: La distribución binomial  solo calcula el valor puntual de X).

Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de N=3 ensayos de los cuales X=2, son exitos con una probabilidad de acierto de P= 0.4.

=DISTR.BINOM.N(2,3,0.40,FALSO)=0.2880

Puede ver que es el mismo resultado que obtuvimos con las tablas no obstante en algunos casos habra pequeñas diferencias dado que las tablas contienen solo valores de probabilidad de cuadro decimales ( es decir 10 decimas ) y en excel puede pedirle que le muestre las decimales que quisiera.

Ejercicios: 
sea x=no. de preguntas contestadas correctamente en el test (examen de un total de 10 preguntas:
A) 5 preguntas correctamente
B) un ao mas preguntas correctamente
C) 5 o mas preguntas contestadas correctamente
D) entre 3 y 6 preguntas correctamente

solución:

n=10 
p=p(éxito=P( preguntas contestadas correctamente) =0.5
P permanece constantemente 

asumiendo independencia entre las contestaciones de las preguntas obtendremos que x - b (10,0,5)
entonces 
solución :
A) P (X=5)=B(X=5,N=10,P=0.5)
B) (X>=1) =1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-B(X=0,N=10,P=0.5)
C) P(X>=5) =1-PX<5=1-P(X<=4)=1-B(X<=4,N=10,P=0.5)
D) P(3<=X<=6)=B(X<=6=BX(<=6; N=10,P=0.5) -B(X<=2,N=10,P=0.5)

Solución usando excel :
a) DISTRIBUCION BINOM.N(5,10,0.50,FALSO)=0.24
b) 1-DISTRIBUCION BINOM.N(0,10,0.50,FALSO)=1-0.0010=0.9990
c) 1-DISTRIBUCION BINOM.N(4,10,0.50, VERDADERO)=1-0.3770=0.6230
d) DISTRIBUCION BINOM.,N (6,10,0.50, VERDADERO)- DISTRIBUCION BINOM.N(2,10,0.50VERDADERO)=0.8281-0.0547=0.7734

Un ingeniero que lavora junto al departamento de control de calidad de una empresa eléctrica inspecciona una muestra al azar  de 10 alternadores de el lote si el 20% de lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la muestra :
a) ninguno este defectuoso 
b) una salga defectuoso
c) al menos dos salgan defectuosos
d) mas de 3 estén con defectos
e) no mas de 3 estén con defectos 

Solución usando tablas binomiales 

A) P(X=0)=B(X=0;N=10;P=0.2)=0.1074
B) P(X=1)=B(X=1;N=10;P=0.2)=0.2684
C) P(X>=3)=1-P(X<=2)=1-B(X<=1;N=10;P=0.2)=0.6242
D) P(X>=3)=1-P(X<=2)=1-B(x<=2;N=10;P=0.2)=0.3222
E) P(X<=3)=B(X<=3;N=10;P=0.2)=0.8791

Solución usando excel:

A) DISTR. BINOM.N(0,10,0.2,FALSO)=0.1734=17%
B) DISTR. BINOM.N(1,10,0.2 ,FALSO)= 0.2684=26%
C) 1- DITR.BINOM.N(1,10,0.20, VERDADERO)=0.6242=62%
D)1-DISTR. BINOM.N(2,10,0.20 VERDADERO)=0.3222=32%
E)C DISTR. BINOM.N( 3,10,0,0.20, VERDADERO)=0.8791=87%

La probabilidad de que en un cd de música dure al menos 1 año sin que falle es de 0.90 la probabilidad de que en una muestra de 15:
A) 12 duren al menos 1 año 
B) a lo mas 5 duren al menos 1 año
C) al menos 2 duren almenos 1 año 

Solución usando tablas binomiales:

A) B(3;N=15;0.10)-B(2;N=15;{P=0.10)=B(X=3;N=15;0.10)=0.1285
B) 1-B (9;N=15;0.10)=1-[0.2059+0.3432+0.1285+0.0428+0.0105+0.0019+0.0003+0.0+0.0]=1-1=0
C) B(15-2-1;15,0.10)=B(12;15:0.10)=1

ECUACIÓN DE IMAGEN FRACTAL

LAS IMAGENES FRACTALES

Los sistemas dinámicos son una de las ramas de las matemáticas más desarrolladas hoy en día, pero hasta la llegada de los ordenadores, el elevado número de cálculos que implicaba su uso los hacían impracticables en la vida real. Actualmente, la capacidad del ordenador para efectuar operaciones a gran velocidad permite condensar millones de cálculos en resultados que podemos interpretar numérica o visualmente. Benoit Mandelbrot fue el primero en utilizar los ordenadores para producir representaciones gráficas de sistemas dinámicos en el plano complejo, basándose en las fórmulas descritas por el matemático francés Gastón Julia a principio de siglo.

Durante la década de los 80, los primeros estudiosos de los fractales comenzaron a explorarlos por su valor estético, más que por su significación matemática. Mientras que la matemática era la herramienta, el objetivo era el arte. Al ser las ecuaciones fractales el elemento matemático más obvio, los artistas fractales experimentaron con nuevas ecuaciones, introduciendo centenares de nuevos tipos fractales. Eligiendo cuidadosamente parámetros para refinar el color, la forma y el encuadre, estos pioneros introdujeron el concepto de arte fractal.

 ALGORITMOS DE COLOR

Cada sistema dinámico produce una secuencia de valores z_⁰, z_¹, z_², z_³,... z_ⁿ. Las imágenes fractales se crean generando una de estas secuencias para cada píxel (punto de la pantalla) en la imagen. Posteriormente, el algoritmo de color es el encargado de interpretar la secuencia numérica para producir un color final que la represente.

    Típicamente, el algoritmo de color produce un único valor para cada píxel. Dado que el color es interpretado en los ordenadores como un espacio tridimensional RGB (red, green, blue), este valor unidimensional debe ser expandido para poder producir un color. El método más común es la creación de una paleta, una secuencia de valores de color 3D, definidos por una línea (denominada gradiente) que recorre el espacio tridimensional.

La selección del gradiente es una de las decisiones artísticas más críticas al crear una imagen fractal. Un gradiente de color puede enfatizar partes de la imagen u ocultar otras. En casos extremos, dos imágenes fractales con los mismos parámetros pero diferentes esquemas de color pueden parecer completamente diferentes.

Podemos efectuar una primera división entre los algoritmos de color: los que producen valores discretos y los que producen valores continuos. Los valores discretos muestran saltos o bandas en la transición del color. Hasta hace unos años esto no era importante, ya que las tarjetas gráficas de 8 bits producían, en cualquier caso, un escalonado en la imagen. Sin embargo la llegada masiva de las tarjetas gráficas de 24 bits hizo que los algoritmos continuos cobraran una especial preponderancia, ya que permiten interpolar un color cualquiera del gradiente con la precisión deseada.

    La creciente importancia de los algoritmos de color en las imágenes fractales ha dado lugar a centenares de nuevos algoritmos, de entre los que podemos destacar los que se detallan a continuación.

Conjuntos de Julia

            Estos conjuntos son la fuente de algunos de los fractales más interesantes y conocidos de la actualidad. En el año 1918 fue cuando Gaston Julia, matemático francés, publicó su trabajos acerca de estos conjuntos que llevan su nombre. Además de él otros matemáticos como Pierre Fatuo impulsaron el avance de esta investigación.

            Los conjuntos de Julia se definen a través de una función racional definida en el plano complejo Z. Tomada una función R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteración, el conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del plano complejo tales que al aplicarles un número n de veces la función R el resultado siempre se encuentra dentro de un determinado límite (es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que está acotado por un cierto valor). Dentro de estos conjuntos se definen dos tipos: conjuntos conexos (conjuntos de Fatou) y conjuntos no conexos (conjuntos de Cantor).

            Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:

z(n+1) = z(n)^2 + c

donde z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no generan un fractal. Estos son algunos ejemplos de la familia cuadrática para distintos valores de c:

Examen diagnostico

EXAMEN DIAGNOSTICO.

1.   ¿Qué utilidad tiene saber cómo elaborar hoja de cálculo mediante aplicaciones de cómputo?

R:  las aplicaciones en la hoja de cálculo permite tener más control, mejor orden en tus datos y te facilita formulas.

2.   ¿Describe lo que es una fila?

R: Es la parte de la hoja de cálculo esta en numera de 1, 2,3,4 etcetera.

3.   ¿Describe lo que es una columna?

R: Esta compuestas por celdas de arriba hacia abajo y generalmente se clasifican con un número.

4.   Describe lo que es una celda?

R: Es un cuadro en el regularmente hay se puede hacer de todo hasta escribir, crear una formula etc.

5.   Describe lo que es un carácter?

R:  Pues es la letra

6.   Describe lo que es un dato?

R: Un dato es la captura para tener un resultado en una formula.

7.   Describe lo que es información?

R: Son todos los datos que tenemos.

8.   Describe en forma de texto y gráficamente la ficha archivo?

Es la opción en donde se puede guardar, compartir, imprimir, exportar y opciones de tu cuenta.

9. Describe en forma de texto y gráficamente la barra de titulo?

R: Pues es donde se tiene el título y la información de la hoja de calculo opciones como rehacer y deshacer algún texto que no hayamos querido.

10.          Describe en forma de texto y gráficamente la barra de acceso rápido?

R: Son opciones rápidas en las cuales actúan para accesar  a alguna herramienta de forma rápida, como por ejemplo imprimir, rehacer, deshacer etcétera.

11.          Describe en forma de texto y gráficamente la cinta de opciones?

R: En esta barra se puede ajustar el texto, cortar, pegar, tipo de fuentes.

12.         Describe en forma de texto y gráficamente la barra de fórmulas?

R: Aquí se capturan las formulas y los datos.

13.         Describe en forma de texto y gráficamente la barra de etiquetas?

R: Es el nombre que se le da a la hoja de cálculo

14.         Describe en forma de texto y gráficamente la barra de estado?

R:   Son los datos que aparecen en la gráfica.

15.          Definición de informática?

R: Conjunto de conocimientos técnicos que se ocupan del tratamiento automático de la información por medio de computadoras.

16.          Definición de control?

R:El control es una etapa primordial en la administración

17.          Definición de calidad?

R: De buena calidad, excelente.

18.          Definición de informática aplicada al control de calidad?

R: Son un conjunto de técnicas y conocimientos para la finalidad de hacer un trabajo con más limpieza, control y más calidez a la hora de crear oh hacer un reporte.

Planeacion

Planeación :

1.-Objetivo:

El estudiante conocerá y aplicara las funciones de la hoja de calculo en el entorno del control y la calidad mediante el manejo del software.


Competencias genericas:

se conoce y se valora así mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
escucha interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos.


Bloque 1:

el estudiante aplicara las funciones de la hoja de calculo para el analisis de datos y representar gráficamente datos en en una hoja de calculo.

hola a todos :D¡¡

Esta blog  fue creado por motivos escolares especifica en  la materia de informática aplicada al control de calidad en donde se pondrán las practicas trabajos y proyectos que el profesor ponga.