ECUACIÓN DE IMAGEN FRACTAL

LAS IMAGENES FRACTALES

Los sistemas dinámicos son una de las ramas de las matemáticas más desarrolladas hoy en día, pero hasta la llegada de los ordenadores, el elevado número de cálculos que implicaba su uso los hacían impracticables en la vida real. Actualmente, la capacidad del ordenador para efectuar operaciones a gran velocidad permite condensar millones de cálculos en resultados que podemos interpretar numérica o visualmente. Benoit Mandelbrot fue el primero en utilizar los ordenadores para producir representaciones gráficas de sistemas dinámicos en el plano complejo, basándose en las fórmulas descritas por el matemático francés Gastón Julia a principio de siglo.

Durante la década de los 80, los primeros estudiosos de los fractales comenzaron a explorarlos por su valor estético, más que por su significación matemática. Mientras que la matemática era la herramienta, el objetivo era el arte. Al ser las ecuaciones fractales el elemento matemático más obvio, los artistas fractales experimentaron con nuevas ecuaciones, introduciendo centenares de nuevos tipos fractales. Eligiendo cuidadosamente parámetros para refinar el color, la forma y el encuadre, estos pioneros introdujeron el concepto de arte fractal.

 ALGORITMOS DE COLOR

Cada sistema dinámico produce una secuencia de valores z_⁰, z_¹, z_², z_³,... z_ⁿ. Las imágenes fractales se crean generando una de estas secuencias para cada píxel (punto de la pantalla) en la imagen. Posteriormente, el algoritmo de color es el encargado de interpretar la secuencia numérica para producir un color final que la represente.

    Típicamente, el algoritmo de color produce un único valor para cada píxel. Dado que el color es interpretado en los ordenadores como un espacio tridimensional RGB (red, green, blue), este valor unidimensional debe ser expandido para poder producir un color. El método más común es la creación de una paleta, una secuencia de valores de color 3D, definidos por una línea (denominada gradiente) que recorre el espacio tridimensional.

La selección del gradiente es una de las decisiones artísticas más críticas al crear una imagen fractal. Un gradiente de color puede enfatizar partes de la imagen u ocultar otras. En casos extremos, dos imágenes fractales con los mismos parámetros pero diferentes esquemas de color pueden parecer completamente diferentes.

Podemos efectuar una primera división entre los algoritmos de color: los que producen valores discretos y los que producen valores continuos. Los valores discretos muestran saltos o bandas en la transición del color. Hasta hace unos años esto no era importante, ya que las tarjetas gráficas de 8 bits producían, en cualquier caso, un escalonado en la imagen. Sin embargo la llegada masiva de las tarjetas gráficas de 24 bits hizo que los algoritmos continuos cobraran una especial preponderancia, ya que permiten interpolar un color cualquiera del gradiente con la precisión deseada.

    La creciente importancia de los algoritmos de color en las imágenes fractales ha dado lugar a centenares de nuevos algoritmos, de entre los que podemos destacar los que se detallan a continuación.

Conjuntos de Julia

            Estos conjuntos son la fuente de algunos de los fractales más interesantes y conocidos de la actualidad. En el año 1918 fue cuando Gaston Julia, matemático francés, publicó su trabajos acerca de estos conjuntos que llevan su nombre. Además de él otros matemáticos como Pierre Fatuo impulsaron el avance de esta investigación.

            Los conjuntos de Julia se definen a través de una función racional definida en el plano complejo Z. Tomada una función R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteración, el conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del plano complejo tales que al aplicarles un número n de veces la función R el resultado siempre se encuentra dentro de un determinado límite (es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que está acotado por un cierto valor). Dentro de estos conjuntos se definen dos tipos: conjuntos conexos (conjuntos de Fatou) y conjuntos no conexos (conjuntos de Cantor).

            Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:

z(n+1) = z(n)^2 + c

donde z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no generan un fractal. Estos son algunos ejemplos de la familia cuadrática para distintos valores de c: