FUNCION DE PROBABILIDAD DISCRETA

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Se caracteriza por su función de probabilidad viene dada por la expresión siguiente:

b(x;n,p)=(n/x) p^x (1-p) n^x

Donde:

x: numero de éxitos (x=0,1,2,3,4......... n).

p: probabilidad de éxito.

1-p: probabilidad de fracaso.

n: tamaño de la muestra de ensayos.

Condiciones para una distribución binomial.

Una distribución se denomina binomial cuando se cumple las condiciones siguientes:

1.- El experimento aleatorio de base se repite n beses, todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.

2.- En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito, expresado por (P) así mismo existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso que es igual Al-P.

3.- El objetivo de la distribución binomial es conocer probabilidad de que se produzca un cierto numero de éxitos.

La variable aleatoria X, que indica el numero de bases que aparece un suceso denominado A(éxito), es discreta, y su recorrido es el conjunto{1,2,3,4...n}.

Los ejercicios los resultados con tablas de estadística y posteriormente con la hoja de calculo excel de microsoft  office,

Tabla 1. probabilidades de distribución binomial.

n	x	P:0.1	P:0.2	P:0.3	P:0.4	0.5
1	0 1 2	0.8100 0.1800 0.0100	0.6400 0.3200 0.0400	0.4900 0.4200 0.0900	0.3600 0.4800 0.1600	0.2500 0.5000 0.2500
2	0 1 2 3	0.7290 0.2430 0.0270 0.0010	0.5120 0.3840 0.0960 0.0080	0.3430 0.4410 0.1890 0.0270	0.2160 0.4320 0.2880 0.0640	0.1250 0.3750 0.3750 0.1250

Puede apreciarse en la primera columna aparece N en la 2da columna los valores de X por cada N y luego las columnas correspondientes alas probabilidades de P.

Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de N igual a 3 ensayos de los cuales X es igual a 2 son éxitos con una probabilidad de acierto de P=0.40.

=DISTRI.BINOM.N(num,exito,ensayos,prob.exito,acomulado).

Se ubica en una celda bacía y se escribe  

=DISTR.BINOM.N el software le mostrara las distribuciones existentes mientras usted esta escribiendo puede ver que entre ( ) aparecen 4 parámetros:

- Numero de éxitos: aquí puede escribir el numero de éxitos que desea obtener.

-Ensayos: es el tamaño de la muestra N.

-Prob.exito: probabilidad de éxito.

-Acumulado: VERDADERO O FALSO.   ( Si escribe VERDADERO:la distribución calcula la distribución binomial acumulado desde X hasta 0; si escribe FALSO: La distribución binomial  solo calcula el valor puntual de X).

Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de N=3 ensayos de los cuales X=2, son exitos con una probabilidad de acierto de P= 0.4.

=DISTR.BINOM.N(2,3,0.40,FALSO)=0.2880

Puede ver que es el mismo resultado que obtuvimos con las tablas no obstante en algunos casos habra pequeñas diferencias dado que las tablas contienen solo valores de probabilidad de cuadro decimales ( es decir 10 decimas ) y en excel puede pedirle que le muestre las decimales que quisiera.

Ejercicios: 
sea x=no. de preguntas contestadas correctamente en el test (examen de un total de 10 preguntas:
A) 5 preguntas correctamente
B) un ao mas preguntas correctamente
C) 5 o mas preguntas contestadas correctamente
D) entre 3 y 6 preguntas correctamente

solución:

n=10 
p=p(éxito=P( preguntas contestadas correctamente) =0.5
P permanece constantemente 

asumiendo independencia entre las contestaciones de las preguntas obtendremos que x - b (10,0,5)
entonces 
solución :
A) P (X=5)=B(X=5,N=10,P=0.5)
B) (X>=1) =1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-B(X=0,N=10,P=0.5)
C) P(X>=5) =1-PX<5=1-P(X<=4)=1-B(X<=4,N=10,P=0.5)
D) P(3<=X<=6)=B(X<=6=BX(<=6; N=10,P=0.5) -B(X<=2,N=10,P=0.5)

Solución usando excel :
a) DISTRIBUCION BINOM.N(5,10,0.50,FALSO)=0.24
b) 1-DISTRIBUCION BINOM.N(0,10,0.50,FALSO)=1-0.0010=0.9990
c) 1-DISTRIBUCION BINOM.N(4,10,0.50, VERDADERO)=1-0.3770=0.6230
d) DISTRIBUCION BINOM.,N (6,10,0.50, VERDADERO)- DISTRIBUCION BINOM.N(2,10,0.50VERDADERO)=0.8281-0.0547=0.7734

Un ingeniero que lavora junto al departamento de control de calidad de una empresa eléctrica inspecciona una muestra al azar  de 10 alternadores de el lote si el 20% de lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la muestra :
a) ninguno este defectuoso 
b) una salga defectuoso
c) al menos dos salgan defectuosos
d) mas de 3 estén con defectos
e) no mas de 3 estén con defectos 

Solución usando tablas binomiales 

A) P(X=0)=B(X=0;N=10;P=0.2)=0.1074
B) P(X=1)=B(X=1;N=10;P=0.2)=0.2684
C) P(X>=3)=1-P(X<=2)=1-B(X<=1;N=10;P=0.2)=0.6242
D) P(X>=3)=1-P(X<=2)=1-B(x<=2;N=10;P=0.2)=0.3222
E) P(X<=3)=B(X<=3;N=10;P=0.2)=0.8791

Solución usando excel:

A) DISTR. BINOM.N(0,10,0.2,FALSO)=0.1734=17%
B) DISTR. BINOM.N(1,10,0.2 ,FALSO)= 0.2684=26%
C) 1- DITR.BINOM.N(1,10,0.20, VERDADERO)=0.6242=62%
D)1-DISTR. BINOM.N(2,10,0.20 VERDADERO)=0.3222=32%
E)C DISTR. BINOM.N( 3,10,0,0.20, VERDADERO)=0.8791=87%

La probabilidad de que en un cd de música dure al menos 1 año sin que falle es de 0.90 la probabilidad de que en una muestra de 15:
A) 12 duren al menos 1 año 
B) a lo mas 5 duren al menos 1 año
C) al menos 2 duren almenos 1 año 

Solución usando tablas binomiales:

A) B(3;N=15;0.10)-B(2;N=15;{P=0.10)=B(X=3;N=15;0.10)=0.1285
B) 1-B (9;N=15;0.10)=1-[0.2059+0.3432+0.1285+0.0428+0.0105+0.0019+0.0003+0.0+0.0]=1-1=0
C) B(15-2-1;15,0.10)=B(12;15:0.10)=1